美国的数学教育，从上文看来虽然向着改造主义进行，但是具有浓厚的实用主义色彩，且有心理化倾向。美国数学教育的心理化的原因，不能不归之于1910年左右，关于形式陶冶的论争。什么是形式陶冶？脱离了所学习的内容而遗留下来的精神效果，称为形式陶冶。比方学习数学，不问所学过的数学内容是什么，觉得还有什么东西留下来的，这个效果是学习数学的形式陶冶。数学的形式陶冶，自古以来，一向重视；以为学习数学，可使思想精密，推理周到。但是，到了二十世纪，怀疑者出，于是发生了“形式陶冶的问题”。对于这个问题，研究者辈出，但是仍旧不能完全解决；有的否认数学教育的形式陶冶，（31）有的觉着完全否认是不对的。（32）于是乎对于数学教育的价值，也有发生疑问的。例如哥仑比亚大学教育学教授司内屯（33）竟这样说：“中学校数学，应该作为随意科，因为数学不是人人所必需的缘故”。他又说：“消费者的数学（34）——算术的一部分——自然人人所必需不可以省略，但是中学校的代数和几何，（35）未必人人所必需，不必作为正科，应改为随意科。至于数学的陶冶价值，几乎无穷小”。但是，假如数学光是有关于日常生活的部分就足够的话，那末，小学算术也嫌过多。另外一位哥仑大学教授就是D.E.司密司，却是拥护数学教育的。他说：“教育家中，要驱逐代数学于中学校外的，大有其人；但是，这些破坏主义的煽动家根本是反动的，现在已经没有力量了”。此语见诸“司密司著，锅岛信太郎译（日文）的代数教授之进步（1925）”一书，书中又说：“二十五年前的数学教育，其目的，好像在养成数学家，现在的目的，在培养有良好教养的美国市民”。
　　
　　我们于此可以断言：美国数学教育的特色，是在培养“小市民性”。美国的数学教科书，是富于小市民的实用性和学习心理的色彩。所以美国没有一本数学教科书是数学专门的人写的，著者大多是教育工作者或是心理学者。
　　
　　关于这方面的参考书，有
　　
　　Young，Teaching of mathematics；
　　
　　Smith and Reeve，Teaching of juniorhighschoolmathematics；
　　
　　YearbooksoftheNationalofTeachersofMathematics；（1926以后，一年一册）
　　
　　Mathematicsteacher（这是美国数学教员会的机关杂志）。此外还有
　　
　　TheAmericanMathematicalMonthly，
　　
　　是美国数学协会（36）的杂志，程度较高，不限于中学校的数学。
　　
　　我国过去的教育和日本有密切关系，现在谈谈
　　
　　日本 日本从明治开始，（37）事事模仿欧洲各国，不管好的歹的，一齐搬进，不十分加工，号称明治维新。明治维新的根本课题是“日本将如何追着‘先进’诸国”？为了要解决这个问题，日本政府集中力量，急速趋向资本主义。一面，日本的社会机构中，含有大量的封建残滓；经济的社会的政治的状势反映到文化和教育。日本的“移植科学”富于模仿性的缘故，自然不能够顺利进行，为民服务，时常有进退维谷的现象。数学教育当然也不在例外，一时进，一时退，成波动的现象。例如在1886（明治十九年）的学制，中学一年级有“几何学初步”一科，用直观导入几何概念，所用的书是法国式的；到了1902年，改变学制把“几何学初步”取消，几何学从中学三年级起才开始教授。所用的书是以菊池大麓著的初等几何学教科书。菊池大麓是日本最初的英国留学生，留英五年；所以他的几何学书是纯粹查式的英国式的书（当然是日本文的）。这个变更是日本数学教育的逆转，退步。1902是国际改造运动开始的时候，日本人置之不理。
　　
　　1902日本已的中学新学制；其数学要目是以菊池大麓和藤泽利喜太郎两人的意见做根底。两人都是大学教授，菊池且做过大学总长（就是校长）文部大臣（教育部长），1902年已经封了男爵；腾泽是东京大学的有力分子（后来任贵族院议员）；日本人富于封建思想，菊池藤泽的一切意见，当然通行无阻。由是，1902的学制对于世界大势是开倒车的；他注重分科主义，偏重论理性；他不容纳直观主义，实验和实测；不着重函数概念；将算术、代数、几何三者严格的分开，不许融合。
　　
　　但是，二十世纪的数学教育改造的潮流，奔腾澎湃，急速的流入日本。中学教师组成了中学数学教育会，发行杂志，研讨数学教育。政府也受到刺激，发表了种种琐碎的改造案。国家的经济，受到第一次大战的“恩惠”，宽裕得很。但是，一直到1930为止。所得的实绩，不过是微温的改造。这是因为制造改造案的专家和实施改造案的教师都是受了旧式的——分科主义的，偏重论理的——教育，飞越起来，要他们彻底革新，他们会头痛的。
　　
　　日本实行1902的要目经过了三十年，1931改革学制数学教育方才获得真的改造他的纲领是：
　　
　　（一）容认数学各科的综合，
　　
　　（二）采用直观几何，
　　
　　（三）重视数值三角法，
　　
　　（四）养成函数的观念。
　　
　　（五）教材须适切于实际生活。
　　
　　日本学制，小学六年，中学五年，高等和大学六年或七年，今将1931的规程中的中学数学时数写在下面；
　　
　　最小限度33522最大限度33555 一年级二年级三年级四年级五年级 这个方案，着实进步，因为有时间的活动性使教材有伸缩的余地。但是，不进步的教师，往往要用这个时间的活动性；以为有机可乘，添入难问题，作入学考试的准备，补充旧式的教材，将整个数学还原到干燥的东西。小仓金之助于1936四月某日利用无线电批评讲演，说道：“1931的新规程，是极不彻底的一种似是而非的自由主义。教师可能在中学前三年，将基本教材全部告成。教育部有‘补充’一项，不明示补充的内容。教师们可能集中势力，在四五年级补充，努力于入学考试的准备，现实的学校是如此的。实际上，四五年级教科书中的问题，对于数学专门以外的人们，毫无用处，就是对于数学家自己，也是价值极低的东西。谈到入学（高等学校入学）（58）考试问题呢，大概和日常生活，自然和社会的理解，没有关系。公平立论，对于这种入学考试问题失败了的学生，仍不失为健全知识阶级的日本人；相反地，考取了的，也不过是考试所囚起来的人。中学校的上四五年级，是“入学考试职工养成所”；假如高等学校的入学考试无数学一科，数学科的存在都要发生问题了。教育部应该从速改订教授要目。……”
　　
　　1945年冬，笔者到了台湾，看到日本文部省编的一套中学数学教科书，完全采取融合主义，置重心于函数概念，面目一新，而且知道那个时候，东京方面已将算术、代数、几何、三角、解析几何，微积分呵成一气，书也出来了。但是书没有到台湾。
　　
　　苏联 今年夏，笔者到北京参加课程改革会议，苏联教育专家作了很长的讲演给我们听，他说：“规定课程，改革课程是一件难事。苏联从1917到1939，课程屡有更变。”希望我国以苏联为鉴少走迂回的道路，苏联的普通教育制度，从1934学制改革以后，无大变化；至于中学，在1939年的党大会，才决定“于都市设立十年制的中学，于农村及民族共和国以七年制的准中学校做基础”。十年制中学设立以前，相当于中等学校的，有“单一劳动学校的第二科”。这种学校的目的，一面是普通教育的继续；一面是完成普通教育，建设唯物论世界观的充分坚固的基础。因此，重视
　　
　　（1）社会科学， （2）实际的自然科学。
　　
　　事实上，课程中的数学、物理、化学、博物时间数的合超过总时间数的三分之一。其中数学时数，分配如下：
　　
　　第五年第六年第七年第八年第九年44544其第五年（其实是初年级）的教授要目，摘出数项于下：
　　
　　（一） 十进法，整数和小数的计算，百分率。简单的方程式。
　　
　　（二） 直线，线分，测定，米达法，经验事实的图表。测定误差的估计，
　　
　　近似计算。
　　
　　（三） 分数，素数，最小公倍数，分数和小数的计算。
　　
　　（四） 直角及其等分，圆及其应用（图案上的）。平等四边形，多角形的
　　
　　面积。
　　
　　（五） 指数，平方根及其几何学的意义，立方体等体积公式，三角锥的表
　　
　　面积和体积。
　　
　　（六） 比和比例。
　　
　　（七） 一元一次方程（数字系数）： 之实测，圆周公式，圆面积公式，
　　
　　圆锥的面积和体积，三角形（已知三边）的作图。
　　
　　（八） 测地作业。
　　
　　光是看了这个摘要，可以知道他是倾向于改造论的。再细察他的第九年的
　　
　　教授要目，“更可以明了他的精神所在”。
　　
　　（一）等差级数及等比级数，应用问题。
　　
　　（二）变数法，无限大，无限小，极限，极限的基本定理。无限等比级数。
　　
　　（三）用两有理数列定义无理数，及其相关联的基本事项。
　　
　　（四）正多角形，圆周及圆面积，曲面体的体积（加乏利害原理的应用）。
　　
　　（五）三角法。
　　
　　（六）高次方程式。
　　
　　（七）顺列，组合，二项定理。
　　
　　大致和德国的教授方案相类似，但是第九年的（三）这一项，的确是特色。
　　
　　但是苏联十月革命后十余年间的数学教育方针，和彼利及克来茵的思想，未必一致。上述教授要目的说明：“数学在教育上的地位，可以简单的规定如下：数学对于学生，是实际上必要的学科。在学校；在后来的生活——不管什么职业——有他的必要性的缘故，是一个不可不与之相观的工具”。因功利上的目的，实际的必要，而承认数学在教科中的地位。但是高利曼（39）不以为然，说道：“这样，自然把数学开倒车一直达到阿尔基米特斯；但是，这些努力，和辩证法的唯物论，没有任何共通点”。用同样的意义，摩洛铎西（40）对于数学研究的全般下了批判（1933）：“人们往往这样主张，数学的发展，其目的在满足今日社会主义建设的需要；将可以满足这个要求的数学诸分科发展起来就好了。但是这种主张是不对的，当然，计划数学的发展，必须把实践需要的满足和社会主义建设的展望放在心上。
　　
　　但是要进到这个目的，仅仅乎将若干的分科片面的发展，是要失败的，一定要把‘全数学’计划的发展，然后可能。”
　　
　　十年制的中学教科书，1949发行的，吉西略夫（41）著的，已经由东北人民政府译成中文。
　　
　　中国 二十世纪初叶，中国才订了学制；学制是“削足适履”式的日本制度。中学的数学课程，形式上和日本的无大差别。教科书也有许多译自日本的——（42）比方前述菊池的几何学。（43）国际改造潮流一时冲不进日本，中国更不消说，一直到解放前夕，旧式的数学教育，未曾动摇。中途摹仿美国；美国的教科书，盛行起来了。有些学校简直用英文原本，中学教科书用外国文，当然是限于殖民地或半殖民地的，且所用的原本，往往在其本国已经早停止使用——例如“范氏大代数”。因此，数学教育，不但成绩不良，且其目的也不明了。学生视数学如仇敌，成了中等教育上一个大问题。
　　
　　解放以后，中央教育部成立不久，就召开全国教育工作者会义；1950年，又召开精简座谈会，大家同意这样的原则（包括数，理，化）：
　　
　　（甲）精简的目的在求教学切实有效，而不是降低学生程度；
　　
　　（乙）删除不必要的或重复的教材，但仍须保持各科科学的系统性完整性；
　　
　　（丙）六三三制，暂不更变。
　　
　　关于数学教材的精简原则是：
　　
　　（一）要与实际结合。要与理化学习结合，要与经济建设的科学知识结合。
　　
　　（二）太抽象的材料宜精简或删。
　　
　　（三）数学课程仍规定为算术、代数、……解析几何。
　　
　　这是创举，值得庆祝的，但是，笔者愚见，还有几句话要补充。（乙）项的保持各科的完整性、系统性，是含有分科主义的精神。国际中等教科改造的倾向，不但融合数学的各分科，并且要融合物理、化学、博物诸科。事实上，日本在第二次战争结束前，已将中学的理化博物融合成一科了——理科。编著教科书，是由于集合许多专家，会议作成的。苏联的教科书，虽然还没有整个的融合，但是日新月异，向融合的方向进行。总而言之，（乙）项的第二段，规定的太呆板了。失去了进步的倾向。同样，数学的第（三）项的规定，应该是暂时性的。吉西略夫的高中代数学中，函数与图表，着重得很，这不是代数学和解析几何的融合么？不过以代数为主体就是了。又关于第（一）项，细察精简纲要（草案），看不出什么地方有（一）的精神，例如初中几何、高中立体几何、高中代数、高中平面三角法、高中解析几何诸科的精简纲要，不过将美国的几本书——三S几何、范氏代数、葛氏三角、三氏解析几何——简化了一下。要他具有（一）的精神，是不可能的。话说回来；这是数学教育具有生气的开端，当然是温和的，不能希望他有太多的结果。