二、选修课程
系列 1 ，系列 2 说明
在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生，可以根据自己的兴趣和需求，选择学习系列 1 ，系列 2 。
系列 1 是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，包括 2 个模块，共 4 学分。系列 2 则是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的，包括 3 个模块，共 6 学分。
系列 1 的内容分别为：
选修 1 － 1 ：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修 1 － 2 ：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。
系列 2 的内容分别为；
选修 2 － 1 ：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。
选修 2 － 2 ：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。
选修 2 － 3 ：计数原理、统计案例、概率。
在系列 1 、系列 2 的课程中，有一些内容及要求是相同的，例如，常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数等；有一些内容基本相同，但要求不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；还有一些内容是不同的，如系列 1 中安排了框图等内容，系列 2 安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。
系 列 1
选修 1 － 1
本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。
在必修课程学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。
内容与要求
1. 常用逻辑用语（约 8 课时）
（ 1 ）命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
（ 2 ）简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
（ 3 ）全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2. 圆锥曲线与方程（约 12 课时）
（ 1 ）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
（ 2 ）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例 1 ），掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
（ 3 ）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。
（ 4 ）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
（ 5 ）了解圆锥曲线的简单应用。
3. 导数及其应用（约 16 课时）
（ 1 ）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见例 2 、例 3 ）。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（ 2 ）导数的运算
①能根据导数定义，求函数 
的导数。
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
③会使用导数公式表。
（ 3 ）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见例 4 ）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。
（ 4 ）生活中的优化问题举例
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（参见例 5 ）。
（ 5 ）数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求（参见第 104 页）。
说明与建议
1. 在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题。
（ 1 ）这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
（ 2 ）对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容。
（ 3 ）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。
（ 4 ）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。
2. 在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。
3. 教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线（参见例 1 ）。
4. 教师应向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。
5. 本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。
6. 在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。应当避免过量的形式化运算练习。
参考案例
例 1. 如图，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的交线是一个椭圆。在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切。那么，截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。
例 2. 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示。试问哪个企业治污效果好（其中 W 表示治污量）。
在 
处，虽然 
，然而 
，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹。
例 3. 我们知道，当运动员从 10 米 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设 t 秒后运动员相对地面的高度为： 
，在 2 秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？
该运动员在 2 秒到 2.1 秒（记为［ 2 ， 2.1 ］）的平均速度为：
同样，可以计算出［ 2 ， 2.01 ］ , ［ 2 ， 2.001 ］，……的平均速度，也可以计算出［ 1.99 ， 2 ］，［ 1.999 ， 2 ］，……的平均速度。
时间 /s |
间隔 /s |
平均速度 / （ m/s ） |
时间 /s |
间隔 /s |
平均速度 / （ m/s ） |
［ 2 ， 2.1 ］ |
0.1 |
-13.59 |
［ 1.9 ， 2 ］ |
0.1 |
-12.61 |
［ 2 ， 2.01 ］ |
0.01 |
-13.149 |
［ 1.99 ， 2 ］ |
0.01 |
-13.051 |
［ 2 ， 2.001 ］ |
0.001 |
-13.1049 |
［ 1.999 ， 2 ］ |
0.001 |
-13.0951 |
［ 2 ， 2.0001 ］ |
0.0001 |
-13.10049 |
［ 1.9999 ， 2 ］ |
0.0001 |
-13.09951 |
［ 2 ， 2.00001 ］ |
0.0001 |
-13.100049 |
［ 1.99999 ， 2 ］ |
0.0001 |
-13.099951 |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
由此可以看出，当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数（ 13.1 ）就可作为该运动员在 2 秒时的速度。
例 4. 如图，直线 
和圆 c ，当 
从 
开始在平面上绕点 O 匀速旋转（旋转角度不超过 90 °）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，它的图象大致是（ ）
例 5. 有一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒。
（ 1 ）试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数；
（ 2 ）求 x 多大时，做成方盒的容积 V 最大。
＜＜＜上一页
下一页＞＞＞
