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高二数学双曲线知识精讲 人教实验版(B) |
| ·大小：297.69KB |
·时间：2006-11-21 |
·级别： |
·上传：第二教育网 |
| ·人气：290 |
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| 类型：同步 >> 知识点分析 | 年级：高二 >> 高二数学 | 科目：数学 |
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简介：
高二数学双曲线知识精讲 人教实验版(B)
一. 本周教学内容：
2.2 双曲线
1、双曲线及标准方程
2、双曲线的几何性质
二. 教学目的
1、掌握双曲线的定义、标准方程的推导和标准方程。
2、理解双曲线的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单的问题，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
三. 教学重点、难点
1、重点：双曲线的定义和标准方程；双曲线的几何性质及初步应用。
2、难点：双曲线的标准方程的推导、双曲线定义中常数加以限制的原因；双曲线的离心率、渐近线的理解及应用。
四. 知识分析
1、双曲线的定义：在平面内，与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2|且大于零）的点（记为M）的轨迹（或集合）叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。用符号表示为 （常数）
说明：
（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形。
（2）作为到这两个定点的距离的差的绝对值的“常数”。
（记为2a）必须满足 （设 ）这个条件。若不然当 时，表示线段 的垂直平分线；当 时表示两条射线，即线段 与 的反向延长线；当 时，无轨迹。
（3）注意定义中的关键词“绝对值”，事实上若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支，完整的双曲线是两支。
（4）下面我们对双曲线进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的一条对称轴与双曲线的交点记为A1，A2，于是我们易得| A1A2|的值就是 。
2、双曲线的标准方程：
（1）双曲线的标准方程的推导：
双曲线的标准方程的推导采用的还是求曲线方程的一般步骤，在这个过程要注意：
①双曲线的方程的推导可以参考椭圆的标准方程的推导过程；与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程，是从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数（与椭圆不同，这个常数要大于0且小于|F1F2|）的点 M 的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程。推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程 ；但关于坐标适合方程 的点都在双曲线上，同椭圆一样，教材中未加证明。
②同椭圆一样，我们教材中对 的化简整理过程也是通过移项后经过两次平方，这里不再介绍了，同学们可以参照课本上来推导。
③根据双曲线定义求双曲线的标准方程，思想方法与推导过程和椭圆完全类似。但应注意椭圆标准方程的推导中，是令 ；而在双曲线标准方程的推导过程中，是令 ，a ， b ， c之间的关系与椭圆中不同，不要搞混。引入不仅是化简的需要，而且还有实际的几何背景，2b就是虚轴的长。
（2）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的双曲线标准方程分别为：
相同点是：形状相同、大小相同；都有 a >0，b > 0， 。（a，b大小不确定）
不同点是：两种双曲线相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个双曲线的焦点坐标为（－c，0）和（c，0）， 第二个双曲线的焦点坐标为（0，－c）和（0，c）。双曲线的焦点在 x 轴上 标准方程中x2项的系数为正数，y2项的系数为负数；双曲线的焦点在 y 轴上 标准方程中y2项的系数为正数，x2项的系数为负数。
（3）另外，形如 中，只要A ， B 异号，C≠0就是双曲线方程，它可以化为 。
例如，方程 就是双曲线方程，它可以化为标准方程 ，这时 。
（4）在学习过程中，同学们可抓住双曲线与椭圆标准方程的异同，列表进行对比，掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系：
.........
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