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反证法在几何问题中的应用 人教版
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类型:教师 >> 论文 | 年级:高中论文 >> 高中数学论文 | 科目:数学
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简介:
  反证法在几何问题中的应用 人教版
  反证法是一种非常重要的数学方法,它在几何的应用极为广泛,在平面几何、立体几何、解析几何都有应用,本文选择几个有代表性的应用,举例加以介绍。
  一、证明几何量之间的关系
  例1:已知:四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点, 。
  求证: 。
  证明:假设AB不平行于CD。如图,连结AC,取AC的中点G,连结EG、FG。
  ∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点,
  ∴ , ; , 。
  ∵AB不平行于CD,
  ∴GE和GF不共线,GE、GF、EF组成一个三角形。
  ∴ ①
  但 ②
  ①与②矛盾。
  ∴
  例2:直线 与平面 相交于 ,过点 在平面 内引直线 、 、 , 。
  求证: 。
  证明:假设PO不垂直平面 。
  作 并与平面 相交于H,此时H、O不重合,连结OH。
  由P作 于E, 于F,
  根据三垂线定理可知, , 。
  ∵ ,PO是公共边,
  ∴
  ∴
  又
  ∴
  ∴
  因此,OH是 的平分线。
  同理可证,OH是 的平分线。
  但是,OB和OC是两条不重合的直线,OH不可能同时是 和 的平分线,产生矛盾。
  ∴ 。
  例3:已知A、B、C、D是空间的四个点,AB、CD是异面直线。
  求证:AC和BD是异面直线。
  证明:假设AC和BD不是异面直线,那么AC和BD在同一平面内。
  因此,A、C、B、D四点在同一平面内,这样,AB、CD就分别有两个点在这个平面内,则AB、CD在这个平面内,即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。
  ........
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