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·反证法在几何问题中的应用 人教版
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反证法在几何问题中的应用 人教版
·大小:43.73KB
·时间:2006-3-22
·级别:
·上传:第二教育网
·人气:804
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简介:
反证法在几何问题中的应用 人教版
反证法是一种非常重要的数学方法,它在几何的应用极为广泛,在平面几何、立体几何、解析几何都有应用,本文选择几个有代表性的应用,举例加以介绍。
一、证明几何量之间的关系
例1:已知:四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点, 。
求证: 。
证明:假设AB不平行于CD。如图,连结AC,取AC的中点G,连结EG、FG。
∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点,
∴ , ; , 。
∵AB不平行于CD,
∴GE和GF不共线,GE、GF、EF组成一个三角形。
∴ ①
但 ②
①与②矛盾。
∴
例2:直线 与平面 相交于 ,过点 在平面 内引直线 、 、 , 。
求证: 。
证明:假设PO不垂直平面 。
作 并与平面 相交于H,此时H、O不重合,连结OH。
由P作 于E, 于F,
根据三垂线定理可知, , 。
∵ ,PO是公共边,
∴
∴
又
∴
∴
因此,OH是 的平分线。
同理可证,OH是 的平分线。
但是,OB和OC是两条不重合的直线,OH不可能同时是 和 的平分线,产生矛盾。
∴ 。
例3:已知A、B、C、D是空间的四个点,AB、CD是异面直线。
求证:AC和BD是异面直线。
证明:假设AC和BD不是异面直线,那么AC和BD在同一平面内。
因此,A、C、B、D四点在同一平面内,这样,AB、CD就分别有两个点在这个平面内,则AB、CD在这个平面内,即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。
........
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