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| ·2006-2007学年度第二学期高一数学三角函数的图象与性质同步检测题A卷 人教版 |
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2006-2007学年度第二学期高一数学三角函数的图象与性质同步检测题A卷 人教版 |
| ·大小：100.2KB |
·时间：2007-2-28 |
·级别： |
·上传：第二教育网 |
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| 类型：同步 >> 练习 | 年级：高一 >> 高一数学 | 科目：数学 |
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简介：
2006-2007学年度第二学期高一数学三角函数的图象与性质同步检测题A卷 人教版
知识网络
范题精讲
【例1】已知函数y=sin2x+ cos2x－2.
（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的图象;
（2）求这个函数的周期和单调区间;
（3）求函数图象的对称轴方程.
（4）说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.
解: y=sin2x+ cos2x－2=2sin（2x+ ）－2.
（1）列表
x －
π
π
2x+
0
π π
2π
y=2sin（2x+ ）－2
－2 0 －2 －4 －2
其图象如下图所示.
（2）T= =π.
由－ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，知函数的单调增区间为［－ π+kπ +kπ］，k∈Z;
由 +2kπ≤2x+ ≤ π+2kπ，知函数的单调减区间为［ +kπ， π+kπ］，k∈Z.
（3）由2x+ = +kπ得x= + π.
∴函数图象的对称轴方程为x= + π（k∈Z）.
（4）把函数y1=sinx的图象上所有的点向左平移 个单位，得到函数y2=sin（x+ ）的图象；
再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到y3=sin（2x+ ）的图象；
再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y4=2sin（2x+ ）的图象；
最后把y4图象上所有的点向下平移2个单位，得到函数y=2sin（2x+ ）－2的图象.
评注:（1）求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式.
（2）对于函数y=Asin（ωx+ ）的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值.
（3）第（4）问的变换方法不唯一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序.
【例2】 如右图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+ ）+B.
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解: （1）由图，可知这段时间的最大温差是30－10=20（℃）.
（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+ ）+B的半个周期的图象，
∴ • =14－6 ω= .
又由图可得A= =10，B= =20.
∴y=10sin（ x+ ）+20.
将x=6，y=10代入上式，得sin（ π+ ）=－1.
∴ π+ = π = π.
故所求曲线的解析式为y=10sin（ x+ π）+20，x∈［6，14］.
评注: （1）本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，独具匠心.
（2）此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A，ω， 和B，它们的计算方法为
A= ，
B= .
ω与周期有关，可通过T= 求得，而关键的一步在于如何确定 .通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单三角方程，但 到底取何值却值得考虑.若得方程sin = ，那么 是取 ，还是取 π呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上了.若在上升的曲线上， 就取 ，否则就取 π，而不能同时取两个值.
【例3】a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx－2cos2x=a有实数解.
分析:所给方程的特征较明显，即是关于sinx与cosx的齐次方程，通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解.
解法一:原方程可化为
sin2x+2sinxcosx－2cos2x=a（sin2x+cos2x），
即（1－a）sin2x+2sinxcosx－（2+a）cos2x=0.
（1）当a≠1时，∵cosx≠0，∴方程两边同除以cos2x，得
（1－a）tan2x+2tanx－（2+a）=0.
∵tanx∈R，∴Δ≥0，即4+4（1－a）（2+a）≥0，
即a2+a－3≤0.又a≠1，
∴a∈［ ，1）∪（1， ］.
（2）当a=1时，原方程化为2sinxcosx－3cos2x=0，此方程有实根.
综合（1）（2）可得当a∈［ ， ］时，原方程有实数根.
..........
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